物理公式之美「数学公式之美」

大家好，物理公式之美「数学公式之美」很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

马向阳/文 如果把源流悠远的整个西方科学和哲学体系比作是一座高楼大厦，那么数学无疑从一开始就是其最坚硬的基石。古希腊先贤苏格拉底曾是欧几里得几何学的信徒，在他的对话录《美诺篇》中，有过这样一段关于“德行”和“数学”关系的有趣探讨。

一次，苏格拉底和他的学生美诺讨论“德性究竟是否可教”，美诺针对苏格拉底的“德性是什么”的提问，自信满满地列举各种德行的定义：比如说男人的德性在于善于治国、女人的德性在于善于治家，甚至还有小孩的德性、老人的德性以及奴隶的道德等等。美诺认为，德行应该包含“勇敢、审慎、智慧、豁达等等，以及还有许多别的方面”。

在苏格拉底看来，这些林林总总的所谓答案，只不过是德性的一部分属性、一种面相而已。如果只是按照美德的具体描述或者某些例子来揭示其本质，这样做还远远不够：

“德性的情况亦是如此。尽管德性有很多且各个不同，但它们都有一个共同的形相（eidos），使它们成为德性。当一个人被问到要弄清德性究竟是什么时，注意到这一点才是正确的”。（Meno,72b-d）

接下来，导师苏格拉底循循善诱，援引几何学里的“形和色彩”，并辅以几何学中的“正方形”为例子，来教导美诺如何从德性的各种描述中，识别出德性中的那个“统一、整体、永恒”的形相来。

在苏格拉底看来，关于德性本质的追问，事实上就是对内在于诸多现象之中共同的形相是什么的这一问题的质询。因此，美德问题的讨论，本质上和数学知识的上穷碧落一样，两者之间唯一的区别是，在人类的所有知识体系中，从来没有一种智慧之美，比数学公式更加简洁明了罢了。

在导师苏格拉底的层层逼问中，美诺也开始自我质问：“即使你很幸运，在探索过程中找到了那个对象，你凭什么可以知道那就是自己要探索的那种存在呢？”其实，美诺的这种担心，在数学公式中才是最容易消除的。相比于种种灵光乍现、各美其美的人文哲学，数学具有一种最简洁明了、近乎先验正确的智慧之美，苏格拉底的弟子柏拉图的论证更往前迈进了一大步，据说柏拉图特别钟爱几何学，甚至在阿卡德摩学园的门口竖立一块牌子，上面写着：“不知道几何学者不得入内”。

在柏拉图看来，倘论追寻世间万物的“形相”（eidos），数学代表了最高的真理之美，在他的《理想国》里，数学甚至被高高悬置在“可知界”，以示和“可视界”的事物区别开来——相比于其他关于感性事物的知识，比如哲学思想，数学公式代表的知识体系是一种“更加确定性的存在”，后者更加清楚、一致、完整地揭示了世间万物的本质。

所谓“中学西学，心理攸同”，在人类文明的轴心时代，当西方贤哲在试图用数学和美学进行相互阐发，以揭示世界的本原时，东方哲学家们同样正在试图用数学公式描摹宇宙的“法相”。中国古代哲学的集大成《周易》就是一本跨界奇书——用“象、数、理”来推演人文，描摹自然。

传说周文王在羑里演绎八卦时，上观天象，俯察人文，以“阴阳、柔刚、仁义”来推演“天、地、人”三者之间的关系，“易六画而成卦，易六位而成章”。易经中6爻为一卦，6为阴数，以6个短横为坤卦代称。9为阳数，以6个长横为乾卦代称，共 64卦、386爻，“三三不尽，六六无穷”，用这386爻来象征世间万物的生生不息和和谐变迁，不仅至简易知，而且“简而易行”，更加巧合的是，易经中的64卦与现代遗传学中的64个遗传密码表完全相统一，这是道法自然至简法则的巧妙天成，也可以视为易经创立的级数与排列组合的神奇应用。《周易》中这样的一幅循环往复、原始返终的数字法则，栩栩如生地刻画了自然、社会、人生三者之间作用、循环与和谐的天然关系，堪称是摹拟宇宙万象变迁的一曲奇妙交响。

“万物速朽，唯有公式永恒；大道至简，数是最美语言”。《公式之美》大概就是这样一本有趣的书，以致于你很难用数学读本还是人文读本来界定它。这本书的编撰者“量子学派”，大概就是沿着中西方古代先贤们探索世界的崎岖小径一路走来——既有“一颗人文关怀的活泼温暖之心”，又要以理性的科学眼光来观照数理哲教领域。这样的跨界探索不仅充满风险而动人心弦，而且更有一种庄重的、追问人类热寂宿命的“智慧之美”，就像柏拉图所苦苦追寻的那个美德和表象世界背后的“形相”——一种更加普遍的、统一的、整体的法则。

公式之美

作者: 量子学派

出版社: 北京大学出版社

出版年: 2020-9-1

数学：照亮原初世界

在人类知识的童年期，曾经有过这样的“拂晓时刻”——数学偕其公式，就像远古岩洞里的赭色壁画艺术一样，同样驱散了人类生活中的无边黑暗。

亚里士多德认为，数学家毕达哥拉斯就是最早将数学引入到希腊的那个人。毕达哥拉斯是个天生的数学迷，曾经遍历印度、埃及、巴比伦等古国学习几何学，在他看来，数学原则就是一切事物的法则：“数是万物的本原。数产生万物，数的规律统治万物。”他将数的终极本原定义为元一，一生二，完满的一和不定的二，再衍生出各种数目，数产生点，至线、至面、至体、最终形成水、火、土、气四元素，在时空的延伸中这四元素相互组合，以不同的方式变化成不同的存在形式，最终由数的物质统一创造出了人类最有生命力的精神世界。

无独有偶，老子也称：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。”（《德道经》第四十二章），庄子云：“天地与我并生，而万物与我为一。既已为一矣，且得有言乎？既已谓之一矣，且得无言乎？一与言为二，二与一为三。”（《庄子》内篇﹒齐物论第二）。虽然老庄都不是严格意义上的数学家，但是在数理哲学方面，这两位同样喜欢探索自然宇宙和人文社会奥秘的老者身上，传承了中国周易哲学的古典迷思：按照《周易·系辞》的说法，“太极生两仪，两仪生四象”来理解，即太极为“一”，阴阳两仪为二，四象（一说为“金木水火”）与万物为三。阴阳相和，这两种不同能量之间的相靡相荡，才催生幻化了作为世界万物的变量。

在中西不同的数理哲学和文化语境里，毕达哥拉斯和老庄关于实在世界的“数论”虽然无法一一对应，但他们对于宇宙本质的的探索上，都视数学为打开世界的一扇大门——数学家们的思考对象和哲学家、艺术家们有惊人的一致性，都是渴望用智慧观照和发现一种独立的、不依赖于人类思维的客观存在（也包括了诸如“德性”这种美和善的存在）。

如何将心灵从茫茫黑暗中引导走入智慧光明烛照的实在世界，早期的数学和哲学、艺术一起，几乎是手挽着手，带领人类走过了童年莽荒时代，进而走上了理性和幸福的康庄大路，先哲们早年对于数学知识的哲学反思，为人类文明提供了最重要的思想资源（如万物皆数）和最基本的艺术形式（如黄金分割）。

在《公式之美》一书中，数学公式所表达的智慧艺术的最高形式，从尼罗河谷、底格里斯河和幼发拉底河的自然数发明，经过毕达哥拉斯古典学派的弘扬光大，再沿着十八世纪的哥德巴赫猜想、费马大定理和牛顿——莱布尼茨公式和万有引力理论而下，历经19世纪黎曼猜想和麦克斯韦方程组驱散了黑暗地带，终于抵达20世纪爱因斯坦的质能方程和杨-米尔斯的规范场论，就像一条涓涓细流，最终汇聚成浩浩汤汤的智慧之河，数学之美，始成其大美。

科学与人文的分流和汇聚：熵增、方生方死猫和元宇宙

就对世界的理解方式而已，早期包括埃及、中东和古代希腊文化的古代地中海文化，都是科学精神和人文艺术汇流的结晶。就像是在古希腊帕特农神庙和中国古代皇宫建筑中，黄金分割比例和基于阴阳元素相合相生的对称性和建筑外在的艺术形式，构筑成一种完美的交响。

按照庄子的说法，无论是“天籁”、“地籁”，还是“人籁”，数学和哲学、艺术一样，都只是人类试图认识自身境遇和周遭环境的不同媒介方式罢了。在那样一种混沌初开的特定时刻，理念和感知、精神和物质、科学和人文，就像人性中不可分割的两极一样，都构建了一个完整的“世界的整体观”。毕达哥拉斯、苏格拉底、柏拉图、亚里士多、周文王、孔子、老子和庄子，这些先贤们的使命都是喜欢用抽象的数理哲学或者人文思想，去探索物性宇宙内在的动态和谐关系（Harmonyofthespheres），苏格拉底通过感官视觉的几何图形，看到抽象理念的统一形相，毕达哥拉斯更是从铁匠日常生活中的打铁声中，透过和声震荡的魔圈，进而发现了“音乐宇宙”（Mu－sicauniversalis）中音响震荡的比例和规律，孔子则通过阐发《周易》，由自然法则推演到人文伦理，庄子也从“庖丁解牛”中认识到了自由美学和科学逻辑的奇妙联系，这些都是人类早期把科学和人文智慧看成宇宙一体的整体认识。

科学和人文的分流，先是经历了中世纪后文艺复兴的狂澜冲击，然后在十八世纪的机器革命中达到了一种极致高峰状态。大机器时代代表的机械观，更是割断了科学和人文之间最后的一丝连接关系，按照哲学家哈贝马斯的说法，科技精神代表的工具理性和人文思想代表的价值理性，开始分道扬镳。

这种恶果在20世纪初的两次空前规模的战争中得到了现报。原子弹、大规模机械化战争，使得新世界的科学家和艺术家们开始在“荒原”上（英国诗人艾略特语）重新思考科学和人文连接的可能性和必要性，正如一位英国科学家、小说家查尔斯﹒斯诺在《两种文化》一书中所感慨的那样：“一位对热力学一无所知的人文学者和一位对莎士比亚一无所知的科学家，同样糟糕。”

热力学是何许学问？1854年，数学家克劳修斯在热力学第一定律的研究基础上，发现了熵增定律：在一个封闭系统中，万物排列貌似一个个井然有序，实则无序和混乱无时无刻不在潜生滋长，纵是当年如花美眷，终究也不免“和光同尘”。熵作为一个测度孤立系统中混乱程度的物理量，结果必然是宇宙中的熵一直会增加，直到最后宇宙进入停滞状态，陷入一片死寂。这就是著名的“热寂说”，也称为熵增定律或者“热力学第二定律”。

熵增定律被发现后，在人文学界、包括社会学和宇宙学都引发了一场思想风暴。记得1991年我的导师乐黛云先生在谈到熵增定律对比较文学的启示时，年轻的我们也是如听天书。她当时援引《庄子》里面那个没有七窍、无法“视听食息”的混沌怪物，在一个封闭的隔离体系中，熵量只能越来越大，最后只能在一片无秩序的混沌中寂灭。

至今还记得乐老师的谆谆提醒：比较文学和比较文学的研究应该在一个有生命的、开放性的、动态体系中进行，要突破隔离封闭的体系，以一种不可逆的不平衡态，新质的产生、发展和突变作为自身的研究对象，就像能量交换一样，随时结合新机，构成新质，称为一个独创的、高度开放性体系。三十年过去了，言犹在耳。

为热寂论感到担忧的还有杰出的电磁学家麦克斯韦，为了对抗熵增的能量控制机制，他甚至调皮地设计了一个假想的叫做“麦克斯韦妖”的存在：小个头，高智能，可以追踪每个分子的行踪，辨别它们不同的速度。

一直等到本世纪50年代信息论的出现，“麦克斯韦妖”假说才被判定为不可能的存在。20世纪量子力学的出现，又催生了一种新的世界观照方式。奥地利物理学家薛定谔在1933年因发现著名的薛定谔方程式获得诺贝尔奖后，开始进行一个叫做“薛定谔的猫”的实验。这只猫被关在在一个密闭的盒子里，随时面临放射性物质衰变的危险以及毒药蔓延的可能性伤害。

实验的结果令人们大跌眼镜。当所有人认为这只猫必死无疑时，这只猫却开始嘲笑代表人类最高智慧的科学家们。在神奇的量子世界里，“薛定谔的猫”在被赋予量子世界的特异功能——量子叠加之后，开始行走在生死之间，穿越于平行空间。当日本作家夏目漱石笔下的那只清高孤傲、睥睨寰宇的猫开始洞晓人类社会运行的法则不过只是“一堆金钱”时，“薛定谔的猫”已经开始了穿越多重世界的哲学旅程：它既死又活，生死叠加。

这使我们不由得想起庄子描述的哲学境界：在浑然一体的世界观面前，俨然存在着一种“方生方死，方死方生”的境地——就像一个人出生之始，就标示了他接下来的每一天就离死亡越来越近一样，在量子的世界里，单一线性的思维模式，只是人类主观有限的视角和心态的折射。今天的科学和人文从竞相分流又回到汇聚整合，这两种方式只是观察和观照世界的不同窗口而已，透过它们，人们才认识自己和周遭环境。

量子力学假设了平行宇宙的可能性。也许，将来的某个时刻回过头来看，也许就像我们今天看待牛顿力学，科学所谓的“真”，只是存在切面的一个部分；而人文思考中的“美善”，则是另一个不完美的切面之另一部分，在拼凑一个有机、完整和统一的世界面前，我们还需要更多的探索和“切面”。

在这一点上，当代信息科学走得更远。据说，马克﹒扎克伯格、马斯克和马化腾这“三马”正在折腾一个叫做“元宇宙”的另一个平行世界，而苹果公司、谷歌等开始投资亿万美元扎堆研究这一新世界的可能性。人类有能力在二进制的基础上发明了互联网这个虚拟世界，为什么就不可以利用更高级的人工智能去模拟一个类似游戏的、更加仿真和更高文明形态的另一个宇宙呢？

社会学家涂尔干把“元宇宙”这样的理想社会看作是“社会现实的一部分”，而非存在于现实社会之外的单纯假想物。在“元宇宙”和我们这个被物欲折磨得千疮百孔的星球之间，并非“理想与现实之间的冲突”，而是“两种不同理想之间的冲突”，“是昨日理想与今日理想的冲突，是传统权威之理想与未来希望之理想的冲突”。从这一意义上讲，我们要感谢《公式之美》这样的跨界佳作，它将我们的孩子们从珠心算、奥数班和庞大数学题海中拯救出来，一边用人文眼光观照数学的朴素美学形式，一边用科学迷思去摆脱人文精神的困境，这何尝又不是一种科学人文教育的理想之光？