勾股定理第一次数学危机「第三次数学危机」

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在古希腊时期，数学就已经开始萌芽。当时有一个著名的学派，叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。他们认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

这一学派最著名的成果就是毕达哥拉斯定理，（毕达哥拉斯定理也被称为商高定理，商高是西周初数学家。他在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五。此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年）这个定理在后来产生了许多影响无数数学家的问题，比如费马大定理，以及我们今天要提到的这个—毕达哥拉斯悖论。

当时毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生，而这句话也被称为“毕达哥拉斯悖论”。√2这类不可度量的数在当时被他们叫做“阿洛贡”，这个词的含义是“不可说”。上帝创造的和谐的宇宙竟然出现了无法解释的破绽，此事应绝对保密，以免他因事情暴露而把愤怒发泄到人类身上。

希帕索斯的这句话成为了自己的掘墓人，他被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，当然，这句话也直接成为了毕达哥拉斯学派的“掘墓人”，极大地动摇了毕达哥拉斯学派的理念——一切数均可表成整数或整数之比。后来毕达哥拉斯学派的欧多克索斯尝试通过给比例下新定义的方法来进行补救。

他首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区别开来．用现代的术语来说，他的“量”指的是“连续量”，如长度、面积、重量等，而“数”是“离散的”，仅限于有理数。其次改变“比”的定义：“比”是同类量之间的大小关系．如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”．这个定义含蓄地把零排除在可比量之外。

欧多克索斯理论是建筑在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理．尽管如此，欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础．为了防止在处理这些量时出错，他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展．从他之后，几何学成了希腊数学的主流。

不过欧多克索斯理论并没有从实质上解决毕达哥拉斯悖论。欧几里得则尝试对√2进行推导，他认为√2不可能写成一个分数。他采用反证法进行证明。

具体证明过程

欧几里得直接从数学角度证明了的确存在这样的一类数字，向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人不得不接受除了整数和分数外还存在另外的数。古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统（指连续不断的数集）的设想彻底地破灭了。

由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了难听的名字—无理数。无理数的诞生可以说直接对古希腊人的观念产生了极大的冲击，因为当时古希腊人认为任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这让当时的古希腊人十分彷徨，不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑。难道自己的所建立的数学体系都是错误的吗？

要知道，在古希望时期，数学可以说和哲学、艺术这些相互融合、互相发展的。可以说这个数字的诞生在当时几乎把数学扼杀在了摇篮之中，所以才引发了数学史上的第一次危机。针对当时古希腊对数学处于彷徨的态度，柏拉图宣告了以数为基础的数学模型的破产，提出以几何为基础建设宇宙模型的构想。

在欧几里得、亚里士多德等人的推动下，古希腊人不得不承认：直觉、经验乃至实验都不是绝对可靠的（如用任何实验都只能得出一切量均可用有理数表示这个结果），推理论证才是可靠的，并且在欧几里得以几何为基础的主张中，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识。

拉斐尔重现古希腊数学与艺术的辉煌

而欧多克索斯、欧几里得等人的工作不仅总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统（欧几里得-希尔伯特几何公理系统）。还编写出《几何原本》一书。这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次危机的产物。

但在很长一段时间，数学家都不愿意接受有理数的存在，甚至刻意回避有理数，直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，这场古希腊时期引发的数学危机就这样持续了 2000 年。

到十九世纪下半叶，因为欧几里得的以几何为基础的主张，人们还把函数的概念和作为动点运动轨道的曲线的几何概念联系在一起。 由于动点必须经过它的轨道上任两点之间的每一个点, 因此曲线是连续的; 又因为动点在它的轨道上的每一点都有确定的运动方向,因此曲线在每一点处都有切线。正是出于这种直观的考虑, 当时的数学家相信, 连续性是可微性的充分条件。当时几乎所有的数学家都相信“任何连续函数除个别点外都是可微的”, 甚至象高斯、 柯西和狄利克雷这样杰出的数学家, 也从未在其著作中提到他们对此持不同意见。

当德国数学家维尔斯特拉斯于 1861 年给出了一个处处不可微的函数时，震惊了整个数学界。这个函数如下：

维尔斯特拉斯的处处不可微函数使得人们进一步感觉到需要彻底摆脱几何直觉的依赖，重新考察分析基础，数学分析的进一步发展需要进一步有逻辑严谨的实数理论作为其基础，再加上当时微积分已经诞生，微积分计算必须根植于实数园地，而这个时候数学界还没有给实数下一个明确的定义，人们这个时候才不得不开始解决有理数这个一直被回避的存在。

所以魏尔斯特拉斯等人发起了“分析算术化”运动，想要解决由无理数引发的持续2000年的数学危机。魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数)。这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。这就是所谓“分析算术化”纲领。

在魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动的引领下，戴德金、康托尔包括魏尔斯特拉斯都提出了自己的实数理论。

1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，他将一切有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和A"，使得集合A中的每一个元素小于集合A"中的每一个元素。集合A称为划分的下组，集合A"称为划分的上组，并将这种划分记成A|A"。戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割，在这里面，戴德金从有理数扩展到实数，建立起无理数理论及连续性的纯算术的定义。

戴德金分割定理推算过程

康托尔也通过有理数序列理论完成了同一目标，康托尔和戴德金都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”。戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法。这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具。

康托尔的有理数序列理论

维尔斯特拉斯发表了有界单调序列理论，有理数基本列是先假定实数的完备性，再根据有理数列的极限来定义有理数无理数。有很多有理数列，他们自己是基本列，但在有理数系内没有极限，所以有了定义：如果一基本列收敛到有理数时，则称它为有理基本列；如果一基本列不收敛到任何有理数或者收敛空了时，则称它为无理基本列。有理基本列定义的是有理数，无理基本列定义的是无理数。

有界单调序列理论求证过程

实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质，证明了实数系的完备性。实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除。 使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了。直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！

这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展。复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了。

第一次数学危机的影响是巨大的。首先，它推动了数学及其相关学科的发展。例如,欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的。其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引起了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，取得了重大发展。

总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念的重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上的杰出成就，直至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础。