数学家美术家「你最喜欢的数学家」

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19世纪末20世纪初，数学家们用石膏、金属丝和其他材料制作出数学曲面模型，主要为了研究和教学。只是慢慢地，他们对这些模型失去了兴趣，但是那些模型依然还摆在大学和博物馆里。后来几位艺术家发现了它们。艺术家们是构成主义和超现实主义运动的参与者，这两个抽象艺术运动在 20 世纪初很活跃。他们从这些曲面模型中汲取了很多创作的灵感。

我们追溯了这种影响的脉络，最后总结了几个仍然可以找到模型的地点，以及一些当前的艺术趣味倾向。

曲面模型

自古以来人类都在制作一些近似的多面体和简单几何体。早在公元前2000年就在苏格兰发现了由五个正多面体组成的球体。然而，更复杂的三维曲面模型直到19世纪初才出现，数学体系在发展进程中，复杂的数学定理引导数学家们尝试将这些形状变得直观。

法国数学家Gaspard Monge

在18世纪，法国数学家Gaspard Monge 创立了画法几何，是关于怎样把三维物体正交投影到两个（一个水平的，一个垂直的）平面上，使得从这个表示法推断该物体的数学性质。他在梅济耶尔皇家军事工程学院学习时有了这个想法，并用于防御公事掩蔽体的设计中，校方规定他只限于在校内讲画法几何学的设计制图方法，对外保密，直到法国大革命结束。Monge 制作了用于教学的直纹曲面模型，是已知最早的此类模型。

Monge的学生 Thèodore Olivier 也会制作模型。Olivier 在巴黎中央理工大学（École Centrale des Aries et Manufactures）和 巴黎国际工艺学院（Conservatoire National des Arts et Métiers）教授画法几何，并设计了直纹曲面模型，其中一些模型由 Pixii、Père 和 Sons 公司制造。后来还有他们的继任制造者 Fabre de Lagrange，并把模型售卖给伦敦的南肯辛顿博物馆（现称为科学博物馆）等地方。

Felix Klein的克莱因瓶

大约在19世纪中期，模型制作的“黄金时代”开始了。许多数学家开始用各种材料搭建模型，石膏、纸板、金属和细绳……许多模型制作者都是德国人，参与人员中不乏有影响力的数学家，像 Eduard Kummer、Felix Klein 和 Alexander Brill。德国数学家菲利克斯·克莱因（Felix Klein）（你要是知道克莱因瓶，就知道他）是直观视觉和模型构建的主要支持者。1893 年芝加哥举行世界哥伦比亚博览会（World's Fair）之后，克莱因在西北大学发表了一系列演讲，他在演讲中说：“我希望特别坚持今天我所讨论的几何方法的主要特征：这些方法为我们提供了所探讨的构型的实际心理蓝图，我认为这是所有真实几何中最基本的”。

Clebsch 创建的对角曲面

在芝加哥世界博览会上，德国展示了可供大学购买的几何模型。在西北大学的第四场讲座中，克莱因参考了世博会期间展示的模型，探讨了代数曲线和曲面的形状。一个此种类型的模型是由 Alfred Clebsch 创建的对角曲面（见图 1）。 “1872 年，我们在哥廷根探讨了三次曲面的形状。Clebsch此时用 27 条实线构建了美丽的对角曲面模型，作为三次曲面的一个特例”。

任意由三次多项式的零点构成的光滑曲面上都有27条直线。在对角曲面中，这27条线都是实的。图 1 的石膏模型中，这些线条已经蚀刻在表面上。从这个模型里可以看到几个“管道”。 克莱因的想法是把这些“管道”通过联通和变形来生成所有可能类型的三次曲面，他和学生 Carl Rodenburg 实验了一系列模型。例如，图1里联通左边三个“管道”会产生一个包含三个普通双点（曲线与自己的交点）、有9条直线的曲面（参见图 1）。

（图1） 左: Clebsch曲面, 表面是27条实的直线。.右: 左边的模型联通与变形后生成的包含三个 A1 的曲面.

在一系列数学模型中还可以找到许多其他奇妙的东西，包括单叶双曲面和螺旋面（见图 2）以及 Kuen 曲面和恒定负曲率广义螺旋面（见图 3）。许多模型被出版社（尤其是德国 Ludwig Brill 出版社，后来被 Martin Schilling 接管）复制并出售给世界各地的学校和博物馆。1911 年，Schilling出版的 模型图录里包含了 40 个系列，其中包括 4000 个模型和仪器。到 1932 年，Martin Schilling 通知哥廷根的数学研究所：“在过去的几年里，没有再出现新的模型。”

左: 单叶双曲面. 来源不明, 但可能是 Brill Series IV, 右: 螺旋面. Brill Series 8, Number 6a. From the MIT collection

图3 左边1-2:Kuen曲面的两个视图. Brill Series 8, Number 1. 右: 广义螺旋面. Brill Series 5, Number 4.

模型构建最富有成效的阶段已经结束，部分原因可能是数学体系从直观和可视化转向正式和严谨。然而许多模型在大学和博物馆中幸存下来，当它们不再作为数学教学的一部分时就被放在尘土飞扬的箱子里，等待非数学世界的人发现它们。

现代艺术的诞生

直到19 世纪后期，西方艺术大多是具象的。也就是说，艺术由绘画、绘画和雕塑组成，它们代表了物理世界的某些层面——人、动物、风景和普通物体。在第一次世界大战之前的几年里，新类型的艺术运动开始了。这是一场关于抽象艺术的运动，或者说艺术并非一定是具象的。瓦西里·康定斯基（Wassily Kandinsky）通常被认为是第一位画纯抽象画的西方艺术家。达达主义、风格派和构成主义等扩大了第一波抽象主义运动的影响。

瓦西里·康定斯基的画作

在两次世界大战之间，超现实主义运动正发展出另一种形式的现代艺术。超现实主义者并没有试图从艺术中去除表现形式（如构成主义），也没有试图摧毁传统艺术（如达达派），而是为无意识和非理性发出声音。

超现实主义者和构成主义者似乎都接触过曲面数学模型。这些几何曲面模型有一种诡异的美感，艺术家们对它们感兴趣也就不足为奇了。如果将他们对此的兴趣放在当时的大背景中，就更没什么惊讶的了。十九世纪中后期是数学发展的动荡时期，欧几里得几何学等旧理论正在被颠覆。许多革命性的数学思想进入了公共领域，激发了作家和艺术家们的想象力。像 H. G. Wells 这样的作家和像 Marcel Duchamp 这样的艺术家都对非欧几何和第四维空间很着迷。超现实主义者发现“非欧几何意味着摆脱既定规则的暴政的新自由”。在文化上，数学既代表了科学进步，也代表了混乱的可能性。

Naum Gabo与构成主义者

构成主义是一场关于艺术和建筑学的运动，始于 20 世纪初的俄罗斯。构成主义运动领袖人物Naum Gabo 和他的兄弟 Antoine Pevsner 主要负责在苏联以外推广和宣传该运动，特别是在巴黎和英国。构成主义者也对抽象创作社、荷兰风格派运动和德国包豪斯运动产生了很大的影响。

Gabo很可能在慕尼黑上学时看到了展出的数学模型。Gabo十几岁时对艺术产生了兴趣，但后来去了慕尼黑大学学习医学，同时他还研修了其他科学类的课程，特别是物理和工程学。尤其他还在慕尼黑工业大学上过课，那里一定会有展示数学模型，因为当时的Felix Klein 和 Alexander Brill 在与学生的问题研讨中制作和研究了模型。在阿尔弗雷德·巴尔（Alfred Barr，20世纪著名的艺术史家） 所编写的1936 年现代艺术博物馆展览图录《立体主义和抽象艺术》中，他着重强调了Gabo与模型之间的联系，称Gabo “一直在慕尼黑学习数学并制作了数学模型”。

图4-1 ：Naum Gabo《 Head No. 2》，1916 (enlarged version 1964), Tate Modern

这种说法可能不准确，但它确实表明，Gabo与数学模型的联系这一话题在巴尔的研究中已经被披露。Gabo 早期受立体派影响的雕塑，如 Head No. 2（见图 4-1），让人想起由在大学里展出的镶嵌横截面制成的纸板曲面模型。这些模型的图片也可以在当时的百科全书中找到。

图4-2：Naum Gabo 《Sketch for a Stone Carving》, 1933, Tate Modern

早期Gabo的创作与某些数学模型的相似性可能只是巧合，但后来这些模型对Gabo在 1930 年代工作的影响是显而易见的。在《构建现代性：Naum Gabo的艺术与工作》一书中， Christina Lodder 和Martin Hammer指出，1936 年Gabo绘制的《空间结构研究：水晶》显示是对第 14版大英百科全书里的文章《数学模型》中提到的人物的描摹。的确，百科全书绘图与他最终的雕塑作品《空间构造：水晶》（1937-1939，伦敦泰特现代美术馆）有许多相似之处。

Naum Gabo《空间构造：水晶》，1937-1939，伦敦泰特现代美术馆

其他雕塑和绘画作品也展示了Gabo邂逅数学模型的证据。例如，Gabo 在1933 年绘制的的石雕草图（Sketch for a Stone Carving）（见图 4-2）让人联想到巴黎庞加莱研究所摆放的直纹曲面或螺旋面模型（见图 2）。完成这幅素描时，Gabo就住在巴黎。

Antoine Pevsner是 Naum Gabo 的兄弟。1930 年代中期 Pevsner创作的结构体显示了数学模型可能产生影响的证据。Pevsner以画家身份开始了他的艺术生涯，在 1920 年代，Gabo鼓励他的兄弟转向创作雕塑，并教授他结构技巧。Pevsner始终否认数学对他的工作产生了任何直接影响。然而，他的《可展曲面》系列可能受到直纹曲面模型的启发（参见图 2）。在数学上，术语“可展”是指不经拉伸和裁剪可以展开到平面的一类曲面。因此，这样的曲面可以从 Pevsner 雕塑上线条精确排列的方式里识别出来（见图5）。

图5: Antoine Pevsner《可展曲面》系列

从1936 年到 1946 年，Gabo 在英国期间，英国雕塑家 Barbara Hepworth与 他有过接触。Hepworth 在遇到 Gabo 之前可能已经看到过一些数学模型。1935 年 12 月，Hepworth给他寄了一封信，在信中她说建筑师约翰·萨默森告诉她，“牛津的一所数学学院里有一些神奇的东西——数学方程式的雕塑作品——藏在橱柜里”，很快她便打算去看看。Hepworth的创作中看得出数学的影响。例如，雕塑《Helicoids in Sphere》（1938 年，私人收藏）与被称为Steiner罗马曲面模型有相似之处。其他雕塑，例如 Pelagos（1946 年，彩绘木材和线，伦敦泰特现代美术馆）和 Spring 在其形式和线的使用中呼应了数学模型。在 1930 年代，Hepworth使用细绳和石膏制作雕塑，如Sculpture with Colour (Deep Blue and Red)（1940 年，彩绘石膏和细绳，伦敦泰特现代美术馆）。这两种材料都是数学模型制作中广泛使用的材料。

英国雕塑家 Barbara Hepworth

Barbara Hepworth《Sculpture with Colour (Deep Blue and Red)》，1940 年，彩绘石膏和细绳，伦敦泰特现代美术馆

Barbara Hepworth《Spring》

亨利·摩尔（Henry Spencer Moore）是另一位英国雕塑家，他与构成主义脱不开关系。摩尔不只一次表示，他从 1937 年开始就在雕塑创作中使用绳子，是受伦敦科学博物馆里的模型的影响。“我对那里看到的数学模型着迷，这些模型是为了描述正方形和圆形之间的形状差异。一个模型的一端有一个正方形，每边有 20 个孔……通过这些孔洞，环线被螺纹连接，并在另一端形成一个具有相同孔数的圆圈。插入中间的平面显示了介于正方形和圆形之间的形状……这不是要对这些模型做什么科学研究，能像在鸟笼一样透过弦线看到一个形状在另一个形状之中让我感到兴奋”。这些模型产生的影响可以在诸如Stringed Figure No. 1（1937 年，樱桃木和线，赫希洪博物馆和雕塑花园，华盛顿特区）等作品中看到。

亨利·摩尔Stringed Figure No. 1

曼雷和超现实主义者

在《超现实主义绘画史》中，Marcel Jean认为可能是法国艺术家马克斯·恩斯特（Max Ernst）将数学模型带入了超现实主义意识里。“恩斯特最初在法国庞加莱研究所发现了这些结构体，并曾向《艺术手册》（Cahiers d’Art）的主编Christian Zervos 提及它们，后者让达达主义奠基人、先锋艺术家曼雷（Man Ray）为它们拍了照”。

达达主义奠基人、先锋艺术家曼雷（Man Ray）

尼尔·鲍德温(Neil Baldwin) 在他关于曼雷的书中支持了这一观点。他在书中说，这是一系列“1880 年代物理学家试图正确呈现代数公式的物品照片。恩斯特带曼雷参观了巴黎庞加莱研究所展出的物品，并以很刻意的印象派风拍摄了这些东西”。

用曼雷在电影《曼雷时代的生活》中他自己的话来说，就是“他被告知了在巴黎的庞加莱研究所里的一些数学模型的情况”，尽管他没有提及是谁告诉他的。曼雷随后拍摄了一系列名为“数学对象”的照片，这些照片是庞加莱研究所对模型的研究。在 1936 年的《艺术手册》里，其中一些照片出现在主编 Christian Zervos的一篇关于数学和抽象艺术的文章中。

《艺术手册》

曼雷的照片以及他后来基于这些照片创作的一系列绘画（见图 6），曝光了这些数学模型。超现实主义者在 1936 年 5 月在巴黎查尔斯拉顿画廊举办的展览“Exposition Surraliste d' Objets”中展示了这些数学模型。超现实主义创始人之一安德烈·布勒东（André Breton）在他著名作品《Crisis of the Object》中写道：“全世界数学机构的实验室已经并排展示了根据欧几里得原理和非欧几何原理构建的对象，在外行看来同样神秘。然而，正如我们通常认为的那样，它们在空间中彼此之间存在着一种迷人而模棱两可的联系”。

图6: . 这幅画是基于 出版的Brill-Schilling图录里有8个双点的Kummer曲面.

有8个双点的Kummer曲面模型

曼雷对数学模型的兴趣也可能对 1936 年在伦敦新伯灵顿画廊举办的国际超现实主义展览产生了影响。展览由毕加索的传记作家罗兰·彭罗斯（Roland Penrose）组织，并提供资金支持，他是在巴黎与曼雷和安德烈·布勒东（André Breton）结识。曼雷在伦敦和巴黎之间来回穿梭，携带艺术品为展览做准备。他为数学模型拍的照片在 1936 年 6 月 11 日至 7 月 4 日开放的展览上展出，每天有 1,500 人参观。甚至在展览图录里也显示出对数学模型的迷恋——图录的封面是恩斯特的拼贴画，上面有一尊爬虫类动物头部的雕像，站在包括Kuen曲面在内的许多数学模型附近（见图 3）。曼雷的照片出现在当时另一个大型展览中，即 1936-1937 年纽约现代艺术博物馆的“奇幻艺术、达达和超现实主义”展览。

1936-1937 年纽约现代艺术博物馆的“奇幻艺术、达达和超现实主义”展览

其他超现实主义者可能受到模型和照片的启发。马克思·恩斯特是伦敦展览图录的封面人物，他还创作了其他几幅似乎与数学模型有关的拼贴画和绘画作品。例如The Feast of the Gods（1948 年，布面油画，20 世纪博物馆，维也纳，奥地利），Chemical Nuptials（1948 年）和Young Man Intrigued by the Flight of a Non-Euclidean Fly（1942-1947 年），其中包含几种构型让人联想到数学模型，类似纺锤形圆纹曲面（Spindle Cyclide）和角形圆纹曲面（Horn Cyclide）。

马克思·恩斯特 The Feast of the Gods，布面油画，1948 年

马克思·恩斯特 Young Man Intrigued by the Flight of a Non-Euclidean Fly（1942-1947 年）

角形圆纹曲面（Horn Cyclide）和纺锤形圆纹曲面（Spindle Cyclide）

当前的数学模型与艺术

在世界各地的大学和博物馆中仍然可以看到对Gabo、Hepworth 和 曼雷产生启发的模型收藏。以下是可以找到模型的一些地方：

▪ 麻省理工学院。麻省理工学院拥有大量品相良好的石膏模型。可以在 2 号楼数学系的走廊中看到。

▪ 亚利桑那大学的模型收藏可以在线查看 (http://math.arizona.edu/models/)。该系列包括理查德贝克制作的诸多模型。

▪ 伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校在百年老钟楼Altgeld Hall 里藏有大量模型。这个系列是独一无二的，因为大多数模型都是由Arnold Emch 专门为大学制造的，他于 1911 年受雇扩充大学的模型系列。

▪ 史密森学会。多年来，许多学校将他们收集的有时已经摇摇欲坠的模型送给了史密森学会。

▪ 纽约州斯克内克塔迪的联合学院拥有一系列 Olivier 模型。目前存放在图书馆的特殊收藏中，但最终将搬回数学系。

▪ Man Ray 拍摄模型的巴黎庞加莱学院仍有 400 多个模型。该系列收藏在图书馆中。

▪德国德累斯顿科技大学收藏了 400 多个模型，其中一些可在 http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/index.php 在线查看。

Dini曲面: 通过扭曲伪球面形成的恒定负曲率曲面, 2004。摄影：Sugimoto Hiroshi

这些模型仍然启发激励着艺术家们。2004 年，摄影师 Sugimoto Hiroshi 拍摄了一系列来自东京大学收藏的石膏模型照片。这些照片曾多次参加展览，并于 2005 年登上《纽约时报》。您可以在 http://www.sugimotohiroshi.com/conceptualforms.html 上在线查看一些照片，其他的可以通过搜索纽约时报的档案找到。Jonathan Chertok 是一位建筑师，他一直在使用快速原型制作和其他技术从 Brill-Schilling 目录中重新创建数学模型。他的作品可以在 http://www.universaljointdesign.com/ 找到。

作者：ANGELA VIERLING-CLAASSEN 莱斯利大学自然科学与数学系
原文标题：Models of Surfaces and Abstract Art in the Early 20th Century
翻译：林子（文中在某些概念解释上做了调整）