埃舍尔美学「跟艺术大师埃舍尔学习二元性和对称性」

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荷兰平面艺术家埃舍尔(M.C.Escher，1898-1972)进行了诸多数学研究，得出了三种截然不同的两种颜色的拼块的对称图画，抓住了二元性的本质。他在他的版画中使用了几幅这样的图画作为关键元素，进一步表达了二元性的思想。他最复杂的“二元性”拼块之一是在Delft拼块上实现的，这块拼块环绕着荷兰巴恩一所学校的一根大柱子。最近，加拿大不列颠哥伦比亚省维多利亚市的一位萨利什艺术家独立制作了一幅拼块，其中包含许多与埃舍尔复杂的二元性拼块相同的元素。

介绍

二元性

这个术语为数学家所熟悉，是埃舍尔工作中的一个核心概念。对数学家来说，有二元空间、二元函数、集合及其补集等。对埃舍尔来说，有对立的想法、状态或感知，互补的形式，图形和背景的并置(回忆一下他的一些作品:日与夜，凸与凹，相遇，举一反三，日与月)。

二元性的本质是两种形式相互定义——认识一个就足以认识另一个。然而，通常不可能同时清楚地感知到这两者。想想图1中的标志性的感知测试：看黑色是两张脸；看白色是一只高脚杯。从整体上看，你会看到一种解释，然后是另一种解释：黑白图像在焦点上变换，两种颜色都在争着被认出来。

图1：心理学家埃德加·鲁宾（Edgar Rubin）1915年研究的经典图/底二分法。

1952-1953年，埃舍尔与一位眼科医生J.W.Waganaar博士就感知问题进行了长时间的通信，并提出了一个问题。有没有可能在没有背景的情况下创造出一幅可识别的图案？Waganaar坚持认为："在我看来，你不可能创造出没有背景的图片。有些构图中，背景和图案的功能交替变化；它们之间存在着持续的竞争，实际上甚至不可能把其中一个元素看作是图案……你的作品没有视觉上的静态平衡，而是一种动态平衡，然而在每个阶段都有图案和背景之间的关系"。(Bool et al. 1982, 160.)

在埃舍尔引用Waganaar的文章中，他接着告诉读者："这样看来，两个相互拼接的单元[拼块]在我们的头脑中不能同时发挥'图形'的作用；尽管如此，一条分割线决定了两个单元的形状和特征，起到了双重作用"。他继续承认创造他的生物拼块是多么困难，"经过大量的耐心和深思熟虑，通常是一连串看似无止境的失败，终于画出一条线，它看起来如此简单，以至于外人无法想象它的获得是多么困难"。(Bool et al. 1982, 160.)在他手工绘制的镶嵌图案中，埃舍尔相邻的拼块确实争相成为图案（或背景）。然而，在他使用这些拼块的版画中，埃舍尔强调了它们的二元性和独立性，让拼块中相互界定的平面形状蜕变为三维的图案，获得了它们彼此的独立性。他在图2中的印刷品《天与水1》完美地说明了他作品的这一重要方面。

图2：埃舍尔《天与水1》，黑白木刻，1938年6月，435×439

对称

对称的一个定义是平衡，这可以有多种解释。埃舍尔对他的许多版画构图中的对称性特别敏感，在他早期的意大利风景画中平衡前景和远处的场景。其他版画中，他平衡了图案甚至场景的位置(例如，天堂，替罪羊，天与水I和II，日与夜)。

然而，埃舍尔最痴迷的是对称性，因为它是覆盖在平面上的优雅、有规律的重复形式。我们今天所说的镶嵌或拼块，他称之为“平面规则分割”，他改编了一个严格的定义，这个定义是他在F. Haag（1923）的期刊文章中发现的。对埃舍尔来说，平面规则分割是由全等的拼块组成的密铺（他坚持认为这些拼块是可识别的形状），其附加属性是每个拼块都以相同的方式被包围。今天，这种拼块被称为等面形。它们的定义是这样的：对于拼块中任何选定的一对拼块，都有等距变换（平移、旋转、反射或滑移反射）将这对拼块中的第一块转化为第二块，同时，将拼块中的每块拼块叠加到另一块拼块。这样的等距变换被称为拼块的对称性。表达这一属性的其他方式是说对称群对拼块的作用是过渡的，或者说对称群下的拼块轨道是整个拼块。

埃舍尔于1922年和1936年两次前往西班牙格拉纳达的阿尔罕布拉宫，仔细复制了在那里发现的许多马赛克和雕刻灰泥镶嵌画。从这些材料中，他收集了他所能收集到的关于它们潜在几何形状的信息，并利用这些知识制作了十几个原始镶嵌图。但是，正是他在1937年仔细研究了数学家乔治·波利亚(1924年)的一篇期刊文章中的一页镶嵌插图，才使埃舍尔进行了4年的深入研究，以确定满足产生平面规则分割条件的拼块形状的特征。1941-1942年，在他研究的高潮，他在两个笔记本中总结了他的调查结果。这些信息使他能够根据自己发现的几何关系，制作出富有想象力的复杂镶嵌图。他的发现的关键是数学家的对称工具——平移、反射、旋转和滑移反射。对于许多独立的例子，他记录了这些转换，一个拼块如何与它周围的拼块相关联。他的研究在今天被称为颜色对称性的领域是开创性的：他的镶嵌物的颜色与镶嵌物的对称性是相容的。(有关双色对称的详细信息，请参阅Schattschneider 1986和Washburn和Crowe 1988。)到他生命的最后，他创作了150多幅原始的镶嵌画，每幅都是在方形的纸上手绘的，然后手工着色。这些图纸是他的“仓库”，他可以从中选择他的版画想法(Schattschneider 2002，2004)。

埃舍尔的镶嵌：通过双色对称实现二元性

所谓镶嵌，我们指的是用拼块覆盖平面，没有缝隙，内部没有重叠。我们用顶点这个术语来表示至少三个拼块相交的点，用边来表示连接两个连续顶点的拼块的边界曲线。超过三分之二的埃舍尔拼块使用两种颜色：每个拼块是两种颜色中的一种，共用一个边缘的拼块有对比色。这种性质(数学家称之为“地图染色”)确保每个拼块都被相反颜色的拼块包围，因此在拼块的无限拼图中，每个单独的拼块都是可识别的。当然，这个特性满足了埃舍尔对图形和背景的二元性的迷恋。

在埃舍尔的笔记中，他概述了许多镶嵌的情况，其中偶数个拼块在镶嵌的每个顶点相遇，因此可以用两种颜色进行着色。他首先列举了几类等面镶嵌，其中全等的拼块有四条边；这些镶嵌只需要两种颜色。他接下来展示了一个他称之为“过渡”的过程是如何从一个2色的等面镶嵌产生一个新的等面镶嵌的，这个新的等面镶嵌需要三种颜色才能被贴图着色。在这本笔记本的后面，他继续探索将这些等面镶嵌中的拼块分割成两种不同形状的方法，以产生可以是2种颜色的新镶嵌。

埃舍尔生产了三种不同类型的双色镶嵌；每一个都以不同的方式阐释了二元性。在接下来的内容中，我们将分别讨论每一种二元镶嵌以及他是如何创造它们的。

类型(1)：两种颜色，一种拼块

超过三分之一的埃舍尔镶嵌是等面形(因此这些拼块是全等的)，并且这些拼块是用两种对比色绘制的。这种镶嵌最简单常见的例子是无限棋盘，它有熟悉的红色和黑色方块拼块。埃舍尔在阿尔罕布拉遇到了许多形状更有趣的镶嵌物。他复制的一个在图3中用黑白块显示；后来他把它变成了由蓝色和白色蝴蝶组成的镶嵌(Schattschneider 2004，125)。

图3：埃舍尔将阿尔罕布拉宫的拼块变成蝴蝶

通过巧妙运用对称性，埃舍尔强调了深色和浅色拼块的二元作用。在这些镶嵌中，一种颜色(比如白色)的所有拼块形成的图案与另一种颜色(比如黑色)的所有拼块形成的图案完全相同。一层是正形，另一层是负形，都是完全一样的图案。图3中的阿尔罕布拉宫拼块具有这种性质：如果由白色拼块形成的图案被提取并旋转90 °，该层可以精确地叠加在黑色拼块的图案上。任何一层都可以作为图案，另一层作为背景。

但埃舍尔采用的双重对称性甚至比这更强。对于镶嵌中任意选定的拼块对，将该拼块对中的第一个拼块变换到第二个拼块上的每个对称都是颜色对称。这意味着拼块的每个对称要么保留所有颜色，要么互换所有颜色：如果两个所选拼块具有相同的颜色，则颜色对称将每个拼块变换到另一个相同颜色的拼块，如果两个所选拼块的颜色相反，则颜色对称将每个拼贴变换到另一个颜色相反的拼块。在数学术语中，这种等面形拼块的颜色是完美的，并且至少有一个对称可以互换颜色。在纺织品和艺术的世界里，具有这些属性的拼块或图案有时被认为具有相反的对称性。

图3中的阿尔罕布拉宫镶嵌就是这样一种镶嵌。这里90°旋转对称(中心在拼块的顶点)交换颜色，而反射对称(在拼块的垂直和水平中心线)和180°旋转对称(中心在拼块的顶点和中心)保留颜色。垂直和水平滑移反射保留颜色，而对角滑移反射交换颜色。如果所有的拼块都有相同的颜色，那么这个拼块就属于p4g对称。对于如图3所示着色的拼块，单色拼块图案的对称组是cmm型；双色镶嵌的对称群的一个符号是p4g/cmm。

埃舍尔选择了他的一幅色彩完美的等面形拼块作为他的书《Grafiek en Tekeningen(印刷品和素描)》的封面插图，该书于1959年首次出版(图4)。这些拼块是狮身鹰首兽(有翼的猫)，并被用于他的异想天开的印刷品魔镜(Bool等人。1982年，cat. no. 338)。在无限延伸的拼块中，所有的金色猫都面朝左，黑色的镜像图案全都面朝右。每一排猫从下巴到尾巴排成一排，由一种颜色定义。金猫可以作为图案，黑猫可以作为背景，反之亦然。在密铺中，所有平移对称保持颜色，而所有(垂直)滑移反射对称交换颜色。

图4：对称图E66与反变换对称，用于埃舍尔的书Grafiek en Tekeningen的封面

类型(2)：两种颜色，两种不同的拼块，每种拼块都是单一的颜色

图1中面部和高脚杯的图形/背景幻觉的双重性是通过两种装置实现的：两种不同形状的图形共享一个边界，并且这些形状具有对比色。在埃舍尔三分之一的镶嵌画中，两块不同颜色的拼块相互交错，同一块拼块的所有重复部分都是相同的颜色。必然地，相同形状的拼块只在拼块的顶点接触；每块拼块都由形状互补的拼块完全勾勒出来。此外，这些镶嵌是2-等面形，也就是说，给定任何一对全等的拼块，整个镶嵌都有一个对称性，将这对拼块中的第一个拼块变换到第二个拼块。因为每个形状只有一种颜色，所以所有的对称都保留了颜色。

埃舍尔最著名的这种类型的拼块之一是白色天使和黑色魔鬼(Schattschneider 2004,150)；因此，安德烈亚斯将这种拼块命名为天堂和地狱拼块(Dress 1986)。我们将它们简称为HH拼块。对于HH拼块，埃舍尔是如何让两个不同的图案(拼块)完美地互锁，然后用它们的常规重复填充平面的？他从等面形拼块开始，将一块拼块分割成两个不同的形状，然后在拼块中的每一块拼块上重复同样的分割，从而实现了这一点。在执行拆分时，他必须确保所得到的拼块可以用两种颜色进行地图着色，使得同一形状的所有拼块都是相同的颜色(Schattschneider 2004，70-76)。图5再现了他笔记本中的前两个案例(Schattschneider 2004，71)。

图5：分割等面镶嵌中的每个拼块可以产生双色2-等面HH镶嵌

第一种情况始于双色镶嵌，其中四个拼块在每个顶点相交，并且边以相同的方式与每个顶点相交。这里，(图5，左)他用一条连接相对顶点的曲线分割拼块；这产生了一个新的镶嵌，它有两个不同的拼块，其中六个拼块在每个顶点相交，允许新的镶嵌是双色的。第二种情况(图5，右)从一个三色拼块开始，其中三个拼块在每个顶点相遇，并且有两种不同的顶点类型。在这种情况下，他用一条连接不同类型的相对顶点的曲线分割拼块；这产生了一个新的有两个不同拼块的拼块，其中四个拼块在每个顶点相遇，所以它可以是双色的。虽然原始镶嵌具有平移变色对称性，但在产生的HH镶嵌中，这些相同的对称性现在保留了所有颜色。

埃舍尔研究了他发现的所有类别的等面镶嵌的分割，并考虑了单个镶嵌的分割曲线选择的变化。在大多数情况下，分裂产生了HH镶嵌；在某些情况下，产生了双色镶嵌，其中两种不同的拼块都以两种颜色出现(这些类型的镶嵌将在下一节中讨论)。虽然这种技术在理论上可能很简单，但埃舍尔为了得到拼块的形状及其分裂曲线，从而产生两个不同的、可识别的、互补的图形，却是一个艰苦的过程。

在埃舍尔的大多数HH拼块中，两块拼块的形状非常不同（例如，天使/魔鬼、鱼/青蛙、鱼/船、鸟/鱼、马/鸟）。但他制作了一些HH拼块，其中两块拼块有非常细微的差别，一些观众认为这些拼块是全等的。为印刷品《日与夜》绘制的拼块中的鹅骗过了《科学美国人》的编辑，他认定这些鸟是相同的（《科学美国人》1961年，4和封面）。事实上，正如埃舍尔指出的那样，它们是两种不同的形状——白鹅的尾巴向上，蓝鹅的尾巴向下。这是埃舍尔的第一个HH拼块，只有平移对称（图6）。

类型(3)：两种颜色，两种不同的拼块，每一种都有两种颜色

当埃舍尔研究他的十种四边形拼块的等面形类型的每一种的分割以及从它们派生的几种“过渡”镶嵌时，他发现了两种甚至更多的分割拼块的变体。每种变化产生不同的双色、2图案拼块。这些新拼块中有几个非常复杂——它们有两种不同的拼块形状，但每种形状都以深色和浅色重复出现。这些镶嵌，像类型(2)的镶嵌一样，是2—等面形，但也具有类型(1)的镶嵌所具有的变换对称的性质，并且是完美着色的。尽管埃舍尔清点了超过25张这样的镶嵌画，但他只完成了7张展示这种“双重二元性”的彩色图画。

他在1941年绘制的第一张带有 "可识别 "拼块的图纸，显示了优雅的交错的鸟和鱼（图7a）。虽然他设计了一扇嵌有这种图案的门，但并没有制作出来。1952年，他在他的印刷品《两个相交的平面》（Bool等人，1982年，第377号）中巧妙地使用了这种拼块。该版画展示了加厚的拼块，每一层（一深一浅）都是从一块木板上切割下来的。这两块鱼和鸟的木板以一个尖锐的角度相交，显示出它们是如何完美地结合在一起的，一块作为图像，另一块作为背景。

图7a中的拼块很可能是从一个类似交错鱼的3色拼块开始的（图7b）；然后埃舍尔将每个拼块分成一只鸟和一条鱼。图7b中的每个拼块都有6个顶点（由一个拼块上的小点标识），连接这个拼块上连续顶点的边用Heesch符号TG1G2TG2G1标记（按循环顺序，从左边开始）。标记为T的两条边是通过水平平移联系起来的，而标记为G1的一对边和标记为G2的一对边是通过滑移反射联系起来的（这些滑移反射的轴线显示为虚线）。埃舍尔的分割曲线将原拼块的相对顶点连接起来，因此在由鸟和鱼组成的新拼块中，一个滑移反射在一列中交换了鸟，另一个滑移反射在一列中交换了鱼。所有滑移反射都交换了颜色，而所有的平移都保留了颜色。

图7： (a)埃舍尔的对称图34B, 1941，用于绘制两个相交平面。(b) 3色拼块，埃舍尔由此派生出了主题, 2色拼块34B

埃舍尔制作的最后一批镶嵌画之一是另一幅复杂的鸟鱼镶嵌画，色彩完美，对称变换(图8a)。它创建于1967年，基于底层的正方形网格，因此弯曲的正方形拼块可以由代尔夫特拼块公司制造。拼块包裹着一根大柱子，再现了这些生物优雅的舞蹈。埃舍尔对对称性的使用产生了经济效益：只需要一个模具就能制作出包含两只鸟和两条鱼的陶瓷方砖。通过在两种不同状态下给拼块上釉——一种是白色的鸟和黑色的鱼，另一种是颜色互换的(图8b ),通过在水平行中交替正方形拼块的正形和负形版本，同时垂直匹配相同颜色的拼块，产生重复的设计(图8c)。

图8 ：(a) 埃舍尔的对称图E126, 1967年。(b) Delft拼块的设计，将以两种方式上釉。(c) 巴恩学校的拼块柱子

虽然这种镶嵌像图7a中的镶嵌一样，是从具有滑移反射对称性的等面镶嵌开始的，但是原始镶嵌的边界和埃舍尔将其分成鸟和鱼的方式导致了两个导出的2-等面镶嵌的显著差异。在埃舍尔的画34B(图7a)中，每条鱼与其他鱼共享两条边；同样，相邻的鸟也共享两条边。但是在图126(图8a)中，没有鱼共享任何边，而每只鸟与相邻的鸟共享两条边。此外，图126(图8a)中的颜色对称性不同于图34B中的颜色对称性。从图8c中可以看出，存在交换颜色的垂直滑移反射(轴靠近正方形小块的边缘)和保持颜色的其他垂直滑移反射(轴靠近正方形小块的中心)。此外，水平平移会交换颜色，而垂直平移会保留颜色。

埃舍尔喜欢在他的拼图中使用滑移反射对称，因此，他的所有双重二元镶嵌中，除了一幅之外，都具有滑移反射对称，这就不足为奇了。到目前为止所讨论的问题都具有这种对称性。他的鱼和驴图130(Schattschneider 2004,223)的颜色对称性与图8中的图126完全相同。另外三幅双重二元拼块有两个鱼图案(这并不奇怪，因为从上面看，这些生物可以有曲线轮廓，可以向任何方向游泳)。图57和58(图9)都显示了两种鱼的镶嵌，并显示了新的或更多的对称性。

埃舍尔在图57(图9，左)中的两条旋转鱼的密铺只有旋转和平移对称。这里60°和180°旋转对称互换颜色，而平移和120°旋转对称保留颜色。在图58(图9，右)中，肥瘦相间的鱼排成纵队滑过彼此，所有浅色的鱼都向上游，所有深色的鱼都向下游。在这里，180°旋转对称交换了鱼的暗柱和亮柱，水平滑移反射对称也交换了颜色。垂直滑移反射和所有平移对称保留了颜色。埃舍尔将这一设计用于委托制作的新年贺卡。他的第三幅画是两条不同的鱼的二元镶嵌，编号为41 (Schattschneider 2004，147)，颜色对称与他的第58幅画相同。

图9：埃舍尔对称图E57(左)和对称图E58(右)，1942年

埃舍尔还有一个双色拼块，可能被认为是双重二元拼块，但这取决于解释。在他的双色图125（Schattschneider 2004, 218）中，如果省略拼块的内部细节，它们都是全等的，类似于飞鱼，所以这个拼块是类型（1）。如果考虑到内部细节，那么就有两种不同的生物拼块，而拼块的颜色是完美的，与图7a中的图34B具有相同的颜色对称性。

埃舍尔的灵感：一种新的双二元拼块

埃舍尔对二元性和对称性的迷恋是具有感染力的。虽然类型(1)和(2)的二元类型比较常见，但类型(3)的对偶类型比较少见。最近我听说了Dylan Thomas的作品，他是一位来自加拿大不列颠哥伦比亚省Lyackson萨利希艺术家。萨利希人被称为“鲑鱼族”，几个世纪以来，他们一直在太平洋西北部富饶的水域捕捞鲑鱼。但在过去的几十年里，鲑鱼的数量大幅下降。托马斯的版画《鲑鱼之灵》(图10)代表了在灵界中过度拥挤的鲑鱼。这幅版画以间接的方式受到埃舍尔作品的启发。

图10：《鲑鱼之灵》，迪伦·托马斯，2007

这位艺术家说，是埃舍尔的六重旋转对称蝴蝶拼块(Schattschneider 2004，70)给了他灵感。他决定寻找一种四重对称的鲑鱼拼块，这是萨利希艺术风格的图案。他从一个正方形网格开始，并在艺术中重要的“流动”概念的指导下，将正方形的边缘发展成蜿蜒的曲线。弯曲的正方形有两个作用：它们勾勒出四条鲑鱼围绕背鳍接触的中心点旋转，它们组合成一个拼块。托马斯还想看到四条鲑鱼围绕它们胸鳍接触的一个点旋转；为了以这种方式填充弯曲的正方形，他不得不稍微改变鲑鱼的图案，用更深的曲线将胸鳍连接到尾巴上。然后，他把弯曲的正方形放在一起，每个正方形有四条鲑鱼，将两种正方形按行和列交替排列，就像棋盘一样。正如图6中埃舍尔的天鹅一样，很容易误认为鲑鱼拼块是相同的。

埃舍尔通过在一个具有4重(90°)旋转对称的镶嵌中分割拼块，发现了三种具有变换对称的2-等面形、2-颜色镶嵌。他在其中一幅作品(Schattschneider 2004，75，左上)中对色彩对称的安排与《鲑鱼之灵》中相同，但托马斯对拼块的安排与埃舍尔截然不同。图11示意性地显示了鲑鱼之灵中的拼块和对称性是如何在扩展拼块中排列的。

图11：显示鲑鱼之灵对称性的示意图

就像图片中一样，空心圆圈代表鲑鱼的眼睛。小的实心方块标识4重旋转中心，在那里相同的鲑鱼的胸鳍相遇；这个开放的小正方形是一个4重旋转中心，其他鲑鱼的背鳍在这里相遇。小菱形表示镶嵌的180°旋转中心。大的叠加正方形的边为扩展镶嵌的对称性定义了最小平移向量；这个正方形包含8条鲑鱼，每种类型四条(分成小块)。平移对称和180°旋转对称保留颜色，而90°旋转对称互换颜色。

我想埃舍尔会很高兴的。

参考文献

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11 Doris Schattschneider, Lessons in Duality and Symmetry from M. C. Escher

青山不改，绿水长流，在下告退。

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