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黑色艺术画「达芬奇数学家」

时间：2023-02-08 15:41:14 来源：原点阅读

大家好，黑色艺术画「达芬奇数学家」很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

各位小伙伴们都有没有听过“五彩斑斓的黑”这个梗？该词源自于微博上火起来的一篇博文，吐槽客户想要的“logo放大的同时能不能缩小一点”“能不能换一种五彩斑斓的黑”，引发了诸多设计师们的共鸣。

今天就来分享一个数学界中的“五彩斑斓的黑”。

乍一看是不是有点“五彩斑斓的黑”的感觉？

分形是一种“无限循环”的模式，在不同的尺度上不断重复自己。这种不断重复的性质叫作自相似。分形被认为是无限复杂的，也就是说如果你可以不断放大一张分形图片，你总是可以看到相同的结构。

分形这个术语是由曼德勃罗在1975年创造的，它源于拉丁语“fractus”。

“分形之父”

美丽又令艺术家们着迷的分形大多数是用非线性迭代法产生的。数学家曼德勃罗命名的曼德勃罗图便是由非线性迭代方法产生的分形。

本华·曼德勃罗(BenoîtB．Mandelbrot)是出生于波兰的立陶宛犹太家庭的后裔，12岁时随全家移居巴黎，之后的大半生都在美国度过。

曼德勃罗幼年时喜爱数学，迷恋几何，后来，他的研究范围非常广泛，他研究过棉花价格、股票涨落、语言中词汇分布等。从物理、天文、地理到经济学、生理学......都有所涉及。

他一直在IBM做研究，又曾在哈佛教经济，在耶鲁教工程，在爱因斯坦医学院教生理学。也许正是这些似乎看起来没有交集的多个领域的研究经验，使他创立了跨学科的分形几何。

曼德勃罗正在向公众演讲

1975年夏天的一个夜晚，曼德勃罗正在思考他在宇宙学研究领域中碰到的一种统计现象。从20世纪60年代开始，这种貌似杂乱无章、破碎不堪的统计分布现象就困惑着曼德勃罗。在人口分布、生物进化、天象地貌、金融股票中都有它的影子。一年前，曼德勃罗针对宇宙中的恒星分布(如康托尘埃)提出了一种数学模型。

用这种模型可以解释奥伯斯佯谬，而不必依赖大爆炸理论。可是，这种新的分布模型却还没有一个名正言顺、适合它的名字。

这种统计模型像什么呢？有些类似在1938年时，捷克的地理和人口学家JaromírKorˇcák发表的论文《两种类型统计分布》中提到过的现象。曼德勃罗一边冥思苦想，一边随手翻阅着儿子的拉丁文字典。突然，一个醒目的拉丁词跃入他的眼中：fractus。

字典上对这个词汇的解释与曼德勃罗脑海中的想法不谋而合：“分离的、无规则的碎片”。太好了，那就是些分离的、无规则的、支离破碎的碎片！分形(fractal)这个名词就此诞生。

之后，曼德勃罗又研究和描述了曼德勃罗集合。他用从支离破碎中发现的“分形之美”改变了我们的世界观，他致力于向大众介绍分形理论，使分形的研究成果广为人知。1993年，身为美国科学院院士的曼德勃罗获得沃尔夫物理学奖。

曼德勃罗1975年出版《大自然的分形几何学》一书，这本书为分形理论及混沌理论奠定了数学基础。对大众读者来说，也是一本认识分形的好书。书中有这样几句话：“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么光滑，闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简单而又复杂的‘分形’......”

别看现在我们将曼德勃罗称为“分形之父”，当初他研究的那些零散、破碎的现象可不是什么热门的专业，曼德勃罗经常自称是个学术界的“游牧民族”。他长期躲在一个不时髦的数学角落里，游荡跋涉在各个貌似不相干的正统学科之间狭隘的巷道中，试图从破碎里找到规律，空集中发现真理。

据说曾有人对曼德勃罗的工作嗤之以鼻，认为他只不过是为分形起了个名字而已。这些所谓正统数学家们仰天一笑，说：“把他算什么家都可以，就是不能算数学家。”为什么呢？因为“翻遍他的大部分巨著，找不出一个像样的数学公式。

这些自命博学的专家们没有搞清楚，引领任何科学发展的，从来都是伟大的思想而不是公式，即便数学也是如此。后来，反例迅速发展成新学科，小溪逐渐融进了主流，分形几何以及与其相关的非线性理论，影响遍及科学和社会的每个角落，甚至远远超越了数学、超越了学术界的范围。

中国人说：“他山之石可以攻玉”。曼德勃罗用分形几何这块小石头，敲遍了各门学科中与其相关的难攻之玉，这也可算是分形之父的故事给我们留下的最大启迪。

著名的理论物理学家约翰·惠勒评价曼德勃罗的著作：“今天，如果不了解分形，不能算是一个科学文化人”，他又说：“自然的分形几何使我们视野开阔，它的发展将导致新思想，新思想又导致新应用，新应用又导致新思想......”犹如分形本身一样，随之产生的新思想和新应用将循环往复，层出不穷......

2010年，曼德勃罗因胰腺癌逝世，享年85岁。他离世后，法国总统萨科齐称其具有“从不被革新性的惊世骇俗的猜想所吓退的强大而富有独创性的头脑”。

“魔鬼的聚合物”

曼德勃罗集可称是人类有史以来做出的最奇异、最瑰丽的几何图形，被称为“上帝的指纹”、“魔鬼的聚合物”。

图1 曼德勃罗集所形成的图形

张三正在图书馆里的计算机旁，向他两个朋友介绍他编写的曼德勃罗集计算机程序。

王二突然注意到身边经过一位姑娘。王二知道姑娘名字叫林零，是个刚入学的新生。王二眼尖，一眼就看上了那姑娘脖子上松松系着的一条丝巾，心中一动，走过去搭讪：“林零，我叫王二。不好意思，能不能借用一下你的丝巾？给我的朋友们看看，它的图案和我朋友刚才用计算机产生的图案太像了!”

“真的吗？”林零十分好奇，跟随王二走到计算机旁，见屏幕上的叫做“朱利亚集”的图的确和她围巾上的图案相似。

图2 用曼德勃罗Ｇ朱利亚图形设计的丝巾图案(红线勾出的图形与图１右下图的朱利亚集相似)

这时，在图书馆读书的其他几个学生也围了过来，欣赏计算机生成的可以随意放大的美妙图形。不管把图案放大多少倍，好像总还有更加复杂的局部，图案结构变换无穷，有的地方像日冕，有的地方像燃烧的火焰。放大的局部既与整体不同，又有某种相似的地方。

有人对张三说：“哇，你太神奇了，画出这么复杂的图形，程序很难写吧！”

可张三说，令人惊奇的是，这程序一点儿不难啊，几小时就完成了。因为实际上，这些美妙复杂变换无穷的图形只出自于一个很简单的非线性迭代公式：

这个非线性迭代是什么意思呢？李四提议张三，在桌旁的黑板上，先给大家简单地介绍一下曼德勃罗集以及他的程序。

“公式中的Z和C都是复数。我们知道，每个复数都可以用平面上的一个点来表示:比如，x坐标表示实数部分，y坐标表示虚数部分。开始时，平面上有两个固定点:C和Z０，Z０是Z的初始值。为简单起见，我们取Z0＝０，于是有：Z1＝C。我们将每次Z的位置用亮点表示。也就是说，开始时平面上原点是亮点，一次迭代后亮点移到C。再后，根据公式，我们可以计算Z2，它应该等于C×C＋C，亮点移动到Z２。再计算Z3，Z4，...，一直算下去。就像我们在前面几节中所说的用图形来作线性迭代一样。只不过这次迭代要进行复数计算，而且用到平方运算，不是线性的，因而叫做非线性迭代。

随着一次次的迭代，代表复数Z的亮点在平面上的位置不停地变化。我们可以想象，从Z0开始，Z1，Z2，...，Zk，亮点会跳来跳去。也许很难看出它的跳动有什么规律，但是，我们感兴趣的是当迭代次数k趋于无穷大的时候，亮点的位置会在哪里？说得更清楚些，我们感兴趣的只是：无限迭代下去时，亮点的位置趋于两种情形中的哪一个？是在有限的范围内转悠呢？还是将会跳到无限远处不见踪影？因为Z的初始值固定在原点，显然，无限迭代时Z的行为取决于复数C的数值。

这样，我们便可以得出曼德勃罗集的定义:所有使得无限迭代后的结果能保持有限数值的复数C的集合，构成曼德勃罗集。在计算机生成的图1中，右下图中用黑色表示的点就是曼德勃罗集。”

李四插进来解释了几句，有关张三提到的“无限”：“在计算机作迭代时，不可能作无限多次，所以实际上，当k达到一定的数目时，就当作是无限多次了。判断Z是否保持有限，也是同样的意思。当Z离原点的距离超过某个大数，就算作是无穷远了。”

王二和林零两人坐在计算机旁，正在好奇地将曼德勃罗图放大又放大。有人看着细微部分不停被放大的图像问张三：“你刚才说，图中的黑点属于曼德勃罗集，但我看到这些放大了的图中，黑点和非黑点都混在一起了啊，这个曼德勃罗集好像没有一条明确的界限嘛。”

李四笑了：“曼德勃罗集的边界有着令人吃惊的复杂结构，看不到一条清晰的边界。属于曼德勃罗集合的点和非曼德勃罗集合的点，以很不一般的方式混合在一起，你中有我，我中有你，黑白一点也不分明。这也正是这种分形的特征......”

另一个人问：“那我还有一个问题，如果只是区分曼德勃罗集合和非曼德勃罗集合，黑、白两种颜色就够了，你这些五彩缤纷的各种颜色是怎么回事呢？”

张三便在黑板上解释各种颜色是怎么来的：“我们不是可以设定不同的C值，Z从0开始作迭代吗？如果在多次迭代(比如64次)后，Z距离原点的距离D小于100，我们认为这个C值属于曼德勃罗集合，便将这个C点涂黑色......而其他的各种颜色则可以表示无限迭代后的结果趋向无穷的不同层次。

比如，对最后的Z距离原点距离D大于100的那些Z0点，可以这样涂颜色：

５００＞D＞１００，C点涂绿色；

１０００＞D＞５００，C点涂蓝色；

１５００＞D＞１０００，C点涂红色；

D＞１５００，C点涂黄色.....

这不就产生出各种颜色美丽的曼德勃罗图形来了吗？”

为了让同学们更方便研究和欣赏曼德勃罗集的分形之美，张三又给了他的生成程序所在的网址。

朱利亚的故事

王二将曼德勃罗集的各个区域放大来放大去，却一直没有找到最开始张三给他们看的那个类似林零围巾的图案。后来还是林零提醒了他:“好像那个图不叫曼德勃罗集，叫什么朱利亚集......”

图3 左侧图是曼德勃罗集，右侧是对应于曼德勃罗图形中(x＝0.379，y＝0.184)处的朱利亚集

什么是朱利亚集呢？

李四用鼠标在屏幕左边的曼德勃罗图形上随便点了一下，右边立刻出现了一个美丽的图形。李四告诉大家，这是对应于鼠标那个点的朱利亚集。

然后，他将鼠标单击另外一个位置，右边的图形立刻变换了。鼠标每改变一个位置，图形就变换一个。

换句话说，曼德勃罗图形上的每一个不同的点，对应一个不同的朱利亚集，朱利亚集和曼德勃罗集是有密切关系的，它们互为“亲戚”。

那么，曼德勃罗图形上的每一个点是什么呢？它代表上述迭代公式中不同的C值。因此，给定一个C，就能产生一个朱利亚集。的确，朱利亚集是用与曼德勃罗集同样的非线性迭代公式产生的：

不同的是，产生曼德勃罗集时，Z的初值固定在原点，用C的不同颜色来标识轨道的不同发散性；而产生朱利亚集时，我们则将C值固定，用Z的初始值Z0的颜色来标识轨道的不同发散性。

尽管朱利亚和曼德勃罗的名字总是连在一起，但他们却是不同时代的人。朱利亚是法国数学家(１８９３—１９７８)，比曼德勃罗要早上３０年。曼德勃罗直到２０１０年才去世。两个人都活到８５岁的高龄，曼德勃罗被誉为分形之父，成就广为人知。然而，早在曼德勃罗尚未出世之前，朱利亚就已经详细研究了一般有理函数朱利亚集合的迭代性质。

朱利亚

朱利亚的一生喜忧参半，特别是在青年时代，可谓饱尝痛苦和艰辛。他出生于阿尔及利亚，８岁时第一次进小学就直接入读５年级，很快便成为班上最优秀的学生。后来，18岁的朱利亚获得奖学金到巴黎学习数学。但生活对这个年轻人来说不太顺畅，特别是后来，法国卷进了第一次世界大战，２１岁的朱利亚参加到一次战斗中，脸部被子弹击中，受了重伤，被炸掉了鼻子。

多次手术仍然未能修补好朱利亚的脸部，他因此一直在脸上挂着一个皮套子。后来他以顽强的毅力潜心研究数学，在医院的几年间完成了他的博士论文。

1918年是朱利亚灾难结束走好运的一年。这年，他25岁，在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了描述函数迭代、长达199页的杰作，因而一举成名。

虽然朱利亚在数学的很多领域都有贡献，在几何分析理论等方面为世人留下了近两百篇论文、30多本书，20世纪20年代更以其对朱利亚集合的研究引起数学界关注，名噪一时。

但不幸的是，过了几年，这个有关迭代函数的工作似乎完全被人们遗忘了，一直到了20世纪七八十年代，由曼德勃罗所奠基的分形几何及与其相关的混沌概念被广泛应用到各个领域之后，朱利亚的名字才随着曼德勃罗的名字传播开来。这类事情在数学及物理的发展史上屡见不鲜，就如黎曼几何因为广义相对论而被大家熟悉一样。

从朱利亚集的生成过程可以看出:对应于曼德勃罗集中的每一个点，都有一个朱利亚集。比如说，点击曼德勃罗集上的零点(对应的C值为０)，这时候作上述迭代产生的朱利亚集是个单位圆。