从数学的角度思考 二次元的\\「数学次元」

大家好，从数学的角度思考 二次元的\\「数学次元」很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

撰文 | Margaret Wertheim

编译 | 冯千格

现在我在办公桌前写作，向上伸手可以打开台灯，向下则能从抽屉里拿出钢笔。当我往前伸出手臂，一个奇怪的小雕像拂过指尖，那是姐姐送给我的幸运符，而往后伸手，触手可及的是一只蜷在我背上的黑猫。我的左边是一叠必须处理的账单和信件，右边是我文章的研究札记。上、下、前、后、左、右：置身这个三维的个人世界中，坐标轴线透过办公室的直线结构无形地投射到我身上，它由三个相连的直角定义，就像大多数西方建筑一样。

我们的建筑、教育和字典都告诉我们空间是三维的。《牛津英语词典》将三维空间定义为“一个未被占用的连续区域……拥有高度、深度和宽度三个维度，所有事物都在其中存在和移动。”早在18世纪，伊曼纽尔·康德（Immanuel Kant）就认为三维欧几里得空间具有先天必然性，而随着计算机生成的图像和电子游戏不断占据当今人们的生活，我们也不断地受到似乎已经公理化的直角坐标网格的影响。从 21 世纪的角度来看，空间的三维特征似乎更是不言而喻的。

然而，西方文化的一项根本性革新提出了我们生活的空间可以具有任何数学结构的概念，这预示了人们从前对现实本质的固有认知将会被颠覆。尽管它的诞生经常被描述为向用机械论描述自然现象的过渡，但可以说现代科学更重要，当然也是更历久弥新，是它导致了我们将空间看作几何构造的概念性转变。

在过去的一个世纪里，对如何描述空间几何形状的探索已经成为理论物理学的一项重大课题，从阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）开始，科学家们试图将自然界所有基础的力解释为空间形状的意外产物。虽然在局域上我们习惯认为空间具有三个维度，但广义相对论描绘了宇宙的四维图景，而弦论则说它有10个维度——如果你采用被称为M理论的扩展版本，则有11个维度。M理论在26维空间中存在很多变体，近来它对24维空间的描述引起了理论数学家们的极大兴趣。但是这些“维度”是什么？我们所谈论的10维空间到底意味着什么？

为了以现代数学的思维模式来思考空间，我们首先必须将其视为物质可能占据的某种领域。至少，“空间”必须被认为是某种延伸的东西。虽然这对我们来说是显而易见的，但亚里士多德（Aristotle）却对这种观点深恶痛绝，而他对物质世界的理解在古典时代晚期和中世纪一直是西方思想的主流。

严格来说，亚里士多德的物理学不包括空间理论，只包括位置的概念。比如一个放在桌子上的杯子，对于亚里士多德来说，杯子被空气包围着，空气本身就是一种物质。在他的世界图景中，没有所谓的“空”，只有一种物质——杯子，与另一种物质——空气，之间的界限。桌子同样可被看作一种物质。对于亚里士多德来说，“空间”（如果你想这样称呼它的话）只是杯子和它与它周围的物质之间无限小的界限，没有延伸的概念，其他物质就不可能占据它。

在亚里士多德几个世纪前，留基伯和德谟克里特（Leucippus and Democritus ）提出了一种现实理论，它本质上包含着一种空间化视觉的启用——一种“原子”的视觉，即物质世界是由在虚空中移动的微小粒子（即原子）组成的。但亚里士多德拒绝接受原子论，他声称虚空的概念在逻辑上是不连贯的。亚里士多德说，根据定义，虚空不可能“存在”。如何反驳亚里士多德对虚空概念的否定，以及更进一步对空间延展性的否定，将是几个世纪的巨大工程。直到17 世纪早期，伽利略和笛卡尔（Galileo and Descartes）将空间的延展性作为现代物理学的基石之一，这一创新愿景才得以实现。正如美国哲学家埃德温·伯特（Edwin Burtt）所说，在这两位思想家的观点中“物理空间的概念被假定为与几何概念相同”——也就是现在学校里教授的三维欧几里得几何（Euclidean geometry）。

早在物理学家接受欧几里得的观点之前，画家们就开始尝试开创一种符合几何学的空间概念，正是由于他们，我们才在概念框架中实现了这一显著的飞跃。在中世纪晚期，柏拉图和毕达哥拉斯（Plato and Pythagoras），作为亚里士多德的主要思想对手，影响了一种新的观点在欧洲的诞生和传播。这种观点认为上帝创造世界时依据的是欧几里得的几何定律，因此，艺术家若想真实地描绘这个世界，就应该在表现策略上效仿造物主。从 14 世纪到 16 世纪，乔托（Giotto），保罗·乌切洛（Paolo Uccello），皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡（Piero della Francesca）等艺术家开发了后来被称为透视法的技术——一种最初被称为“几何学绘图”的作画风格。通过有意识地探索几何原理，这些画家逐渐学会了如何在三维空间中构建物体的图像。在这个过程中，欧洲人受到他们的影响，逐渐开始以欧几里得的思维理解空间。

历史学家塞缪尔·埃哲顿（Samuel Edgerton）在《乔托几何学的遗产》（1991）中讲述了这一向现代科学的非凡过渡，他指出，亚里士多德对空间的认识被推翻是一个缓慢而间接的过程，当人们站在透视画前，本能地感觉到他们仿佛正在“透视”墙另一边的三维世界时，这一转变就这样不易察觉地发生了。当哲学家们和原始科学家们正谨慎地挑战亚里士多德关于空间的戒律时，艺术家们通过诉诸感官在这一领域另辟了一条不同寻常且更为激进的道路。从字面上看，透视是一种虚拟现实的形式，就像今天的VR游戏一样，它旨在让观众产生一种错觉，以为自己已经被传送到了另一个几何上连贯、心理上可信的世界。

“实”的结构从一个哲学和神学问题变成了一个几何命题

The structure of the ‘real’ went from a philosophical and theological question to a geometrical proposition

虚幻的欧几里得空间对透视的表达逐渐烙印在欧洲人的意识中，这一空间也被笛卡尔和伽利略奉为现实世界的结构。值得补充的是，伽利略本人接受过透视训练。他描绘深度的能力在他开创性的月球画中得到了突出的展现，画中不仅描绘了山脉和山谷，还暗示了月球与地球相同的坚硬的材质。

通过透视图像的空间特性，伽利略可以推演炮弹之类的物体是如何根据数学定律运动的。空间本就是一种抽象——一个既没有特征也没有变化，既不可触碰也不可感知的虚空，它唯一可知的属性就是它的欧几里得形式。到了17 世纪末，艾萨克·牛顿（Isaac Newton ）将伽利略的视野扩大到将整个宇宙包括在内，从此空间变成了一个潜在的无限三维真空——一个巨大的、无质量的、永远向各个方向延伸的虚象， “实”的结构从一个哲学和神学问题逐渐转变为一个几何命题。

从前，画家们使用数学工具开发了构建图像的新方法，而到了“科学革命”的黎明，笛卡尔发现了另一种内化数学关系的图像构建方法。在这一过程中，他规范了维度的概念，并给我们的意识注入一种看待世界的新方式，一种进行科学研究的新工具。

今天，几乎每个人都能在笛卡尔平面的图像中认识到他的天赋异禀——一个标有 x 和 y 轴的矩形网格，以及一个坐标系。

根据定义，笛卡尔平面是一个二维空间，因为我们需要两套坐标来标定其中的某一点。笛卡尔发现，通过这个框架，他可以将几何形状和方程联系起来，比如半径为 1 的圆可以用方程 x^2 y^2 =1 来描述。

大量可以绘制在这个平面上的图形同时也可以用方程来描述，在物理学家进一步分析运动过程中，这种“解析”方法，即“笛卡尔几何”，将成为牛顿和莱布尼茨发展微积分的基石。理解微积分的一种方法是研究曲线，这使我们能够正式标定曲线最陡峭的位置和达到局部最大或最小值的位置。被应用于运动研究中，微积分成为了一种分析和预测的方法，例如，它能分析抛向空中的物体达到最大高度需要的条件，也可以预知当球从弯曲斜坡上滚下时能保持的特定速度。微积分自出现以来就已成为几乎所有科学分支的关键工具。

以先前的图示为例，很容易得出添加第三个轴的方式。因此，用 x、y 和 z 轴，我们可以描述出球体的表面——比如一个沙滩球的外皮。这里方程（对于半径为 1 的球体）变为：x^2 y^2 z^2 = 1

通过三个轴，我们可以描述三维空间中的形状。同样，每个点都由三个坐标唯一标定：这是构造三维空间“三维性”的必要条件。

但为什么止步于此呢？如果增加上第四个维度呢？称这一维度为p。现在可以给我所谓的位于四维空间中的球体写出一个方程：x^2 y^2 z^2 p^2 = 1。我不能为你画出这个物体，但在数学上增加另一个维度是合理的，“合理”意味着这样做在逻辑上没有任何矛盾——没有理由不能这样做。

“维度”变成了一个纯粹的象征性概念，与物质世界没有任何必然联系。

A ‘dimension’ becomes a purely symbolic concept not necessarily linked to the material world at all.

我们可以继续增加更多维度。如果在五维空间中定义了一个球体，它有五个坐标轴 (x, y, z, p, q)，可以得出等式：x^2 y^2 z^2 p^2 q^2 = 1。而在六维空间中：x^2 y^2 z^2 p^2 q^2 r^2 = 1，依此类推。

虽然更高维的球体可能很难想象，但可以象征性地描述它们。理解数学史的一种方式就是逐渐认识到哪些看似显而易见的事物实际上是可以超越的。这也是查尔斯·道奇森（Charles Dodgson），又名刘易斯·卡罗尔，在《爱丽丝梦游仙境》（1871 ）中所意指的，他让白女王宣称她有能力在早餐开始前让自己相信“六件不可能的事情”。

在数学上可以选择任意维数来描述一个球体，我所要做的就是不断添加新的坐标轴，数学家称之为“自由度”。按照惯例，它们被命名为 x1、 x2、 x3、 x4、 x5、 x6等等。正如笛卡尔平面上的任何点都可以用两个 (x, y) 坐标来描述，17 维空间中的任何点都可以用 17 个坐标的集合来描述：(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ... x15 , x16 , x17 ). 在这样的多维空间中，这样的球体表面通常被称为流形（manifolds）。

从数学的角度来看，一个“维度”无非是另一个坐标轴（另一个自由度），它最终变成了一个与物质世界没有必然联系的纯符号概念。在 1860年代，富有创新思维的逻辑学家奥古斯都德摩根（Augustus De Morgan，其工作影响了刘易斯卡罗尔）从该领域日益抽象的观点总结出结论，指出数学纯粹是“符号科学”，除了自身不必与任何事物相关。从某种意义上说，数学是在想象中得到全部自由的逻辑。

不像可以在思想领域自由发挥的数学，物理学与自然密切相关，至少在原则上，它与物质世界相联系。然而，这一切都带来了一种更自由的可能性，因为如果数学允许超过三个维度的存在，并且我们认为数学对描述世界很有作用，那么为什么要把物理空间的维度仅仅限于三个呢？尽管伽利略、牛顿和康德都认为长度、宽度和高度的选择不言自明，但我们的世界难道没有更多的维度吗？

再一次，超过三个维度的宇宙概念也是通过艺术媒介，大多数情况下是文学推测，注入公众意识的，其中最著名的是数学家埃德温·阿伯特（Edwin A Abbott）的《平面国》(1884)。这部引人入胜的社会讽刺小说讲述了一个生活在平面上的不起眼的方形的故事，一天一个三维的存在，球体勋爵，拜访了他，并将他带入了宏伟的固体世界。在这个立体的天堂里，方形看到了自己的三维版本，立方体，并开始梦想推进到第四、第五和第六维度。为什么不是超立方体？或许还有一个超超立方体呢？

可悲的是，回到平面国后，方形被视为疯子，被关进了疯人院。与它所启发的一些充斥着糖精的动画和改编不同，这个故事的独特之处，是它认识到鼓吹社会常规惯例所带来的危险。在方形为空间的其他维度争论的同时，他也在为其他维度的存在辩护——他是一个数学里的酷儿。

在 19 世纪末和 20 世纪初，大量作家（赫伯特·乔治·威尔斯，数学家和科幻作家查理·辛顿，他为 4D 立方体创造了“tesseract”这个词）、艺术家（萨尔瓦多·达利）和神秘思想家（彼得·邬斯宾斯基），探索了关于第四维度的想法，以及第四维度对人类的意义。

随后在1905年，一位名叫阿尔伯特·爱因斯坦的不知名物理学家发表了一篇论文，将现实世界描述为一个四维环境。在他的“狭义相对论”中，时间被添加到空间的三个经典维度中。在相对论的数学形式里，这四个维度是联系在一起的，时空一词第一次进入了我们的词典。而这种组合绝不是随意的，爱因斯坦发现，沿着这个方向进一步探究，一个强大的数学机置应运而生，它超越了牛顿的物理学，能准确地预测带电粒子的行为。只有将世界契合到四维模型中，电磁学才能得到全面而准确的描述。

相对论远不仅是一种文学游戏，尤其是当爱因斯坦将其从“狭义”理论扩展到“广义”理论时。现在，多维空间充满了深刻的物理意义。

在牛顿的世界图景中，物质在自然力，尤其是重力的影响下，在时间内移动。空间、时间、物质和力量是现实的不同范畴。而通过狭义相对论，爱因斯坦证明了空间和时间的统一性，从而将基本的物理范畴从四个减少到三个：时空、物质和力，广义相对论则更进一步将引力纳入时空结构本身。从 4D 的角度来看，重力只是空间形状的产物。

为了理解这种不同寻常的情况，让我们暂时想象一下它的二维模拟。想象一个蹦床，在它的表面上画着一个笛卡尔网格，现在把一个保龄球放到网格上。保龄球周围的表面会伸缩变形，因此一些点与点之间的距离会变得更远，这样，空间内固有的距离测量就被扰乱而变得不均匀了。广义相对论认为，这种变形就是太阳这样的重物体对时空造成的影响，在此影响下，实际时空与笛卡尔理想中的空间之间的偏差导致了我们体验到的引力现象。

在牛顿的物理学中，引力是凭空出现的，而在爱因斯坦的物理学中，引力是自然地从四维流形的固有几何中产生的；在流形变形最大、偏离笛卡尔规律最多的地方，感受到的重力最强，这有时又被称为“橡胶板物理”。巨大的宇宙力使行星绕着恒星运行，恒星绕着星系运行，但在爱因斯坦物理学中，这都只不过是空间扭曲的副作用，而重力实际上是运动中的几何学。

如果进入四维空间有助于解释引力，那么在五个维度中思考是否有某些科学优势呢？何不尝试一下呢？一位名叫西奥多·卡鲁扎（Theodor Kaluza）的年轻波兰数学家在 1919 年问道，他认为如果爱因斯坦能将引力内化到时空中，那么也许可以用另一个维度类似地将电磁力解释为更高维时空几何的产物。因此，克鲁扎在爱因斯坦方程中添加了另一个维度，令他高兴的是，他发现在五个维度中，两种力都很好地成为了几何模型的产物。

你就像一只在细长的软管上奔跑的蚂蚁，从未意识到脚下小圆圈的维度

You’re an ant running on a long, thin hose, without ever being aware of the tiny circle-dimension underfoot

虽然在数学上能完美契合，但额外维度的问题在于它似乎与任何特定的物理性质无关。在广义相对论中，第四维度是时间；在卡鲁扎的理论中，第五维度却不是任何可以指向、看到或感觉到的东西：它只存在于数学中。甚至爱因斯坦也对如此虚无缥缈的创新犹豫不决。它是什么？他问。它在哪里？

1926 年，瑞典物理学家奥斯卡·克莱因 (Oskar Klein)，回答了这个问题——以一种听起来像是直接从仙境中走出来的方式。想象一下，他说，你是一只生活在又长又细的软管上的蚂蚁，你大可以沿着软管来回奔跑，但不会意识到脚下的小小的圆形维度，只有拥有强大蚂蚁显微镜的蚂蚁物理学家才能看到这个微小的维度。根据克莱因的说法，在我们所处的四维时空中，每个点都有一个像这样的的空间圈，但它太小了，我们看不到——它比原子还小许多数量级，难怪到目前为止会被我们错过。只有拥有超强粒子加速器的物理学家才有希望看到如此微小的尺度。

一旦克服了最初的震惊，物理学家很快就被克莱因的想法迷住了。在 1940年代，这个理论在数学上得到了详尽的阐述，并被应用于量子条件中。不幸的是，新维度无限小的规模让我们无法想象如何通过实验验证它。在克莱因的计算中，这个小圆圈维度的直径只有10^（-30）cm，相比之下氢原子的直径是10^（-8） cm，所以我们所要研究的维度是比最小的原子还小20多个数量级的东西。即使在今天，如此微小的尺度也是很难看到的。于是，这个想法就渐渐不再风行了。

然而，卡鲁扎并不是一个容易被吓倒的人。他相信他的第五维度，也相信理论指导实践的力量，于是他决定进行自己的实验。他选择了用游泳这个题目证明自己。卡鲁扎不会游泳，在阅读了所有关于游泳理论的内容后，他觉得自己原则上已经掌握了这项水上运动。他由家人护送到海边，把自己投身于海浪中，你瞧，他真的可以游泳。在卡鲁扎看来，游泳实验支持了理论的有效性，虽然他没有活着看到他所钟爱的五维空间的胜利，但在1960年代，高维空间的想法再次引起了弦理论家们的注意。

在1960年代，物理学家发现了另外两种自然力，都是在亚原子尺度上作用的。这两种力分别被称为弱核力和强核力，它们造成了某些类型的放射性并将夸克聚集在一起形成构成原子核的质子和中子。在1960年代后期，随着物理学家开始对弦论这一新的学科的探索（它假设粒子就像在空间中振动的微小橡皮筋），卡鲁扎和克莱因的想法重新浮现在人们脑海中，理论家们逐渐开始思考这两个亚原子力是否也可以用时空几何来描述。

事实证明，为了覆盖这两种力的作用机制，我们必须在数学描述中添加另外五个维度。这个数目的选取是没有先验原因的；同样，这些额外的维度都与我们的感官体验没有直接关系，它们只存在于数学中。这就形成了弦理论十个维度的假设：存在着四个大尺度的时空维度（由广义相对论描述），和六个额外的“紧凑”维度（一个用于电磁力，五个用于核力），所有这些维度都蜷缩在一个极其复杂、扭曲的几何结构中。

物理学家和数学家花费了大量精力来理解这个微型空间可能呈现的所有可能形状以及它们在现实世界中可能实现的替代方案。从技术上讲，这些形式被称为卡拉比丘流形（Calabi-Yau manifold），它们可以存在于任何偶数个的更高维度中。离奇复杂的造物以非凡的形态构成了多维空间中的抽象分类，它们的2D切片（它们外观最直接的可视化）让人想起病毒的晶体结构，这些流体看起来似乎拥有生命。

卡拉比-丘流形的二维切片。维基百科

描述 10 维空间的弦理论方程有许多版本，但在20世纪90年代，来自普林斯顿高等研究院（爱因斯坦的老住所）的数学家爱德华·威腾（Edward Witten）声称，如果采用 11维视角，事情可能会有所简化。他将自己的新理论称为M理论，并神秘地拒绝说出“M”代表什么。“M”通常被认为是“膜”的简写，但也有人认为是“矩阵”、“大师”、“神秘”或“怪物”。

我们的宇宙可能只是众多平行宇宙中的一个，每个宇宙，都是广阔的五维空间里一个孤立的四维气泡。

Ours might be just one of many co-existing universes, each a separate 4D bubble in a wider arena of 5D space

到目前为止，我们还没有收集到证明这些额外维度确实存在的任何证据——我们仍然未能到达游泳物理学家梦想中的微型景观——但弦理论已经被证明对数学本身有着强大的影响。最近，二十四个维度的理论版本揭示了数学中几个主要分支之间出乎意料的联系，这意味着，即使弦理论在物理学中无法成功，它也会是一个丰富的纯理论洞察力来源。尽管现实世界不太可能有 24 维，但在数学中，24维空间本身就是相当特殊的：神奇的事情可以在那里发生，比如球体能以一种特别优雅的方式组合在一起。而对于我们所热爱和已存的世界，大多数弦理论家认为10或11维就已经足够了。

弦理论还有一个值得关注的发展。1999 年，丽莎·兰德尔 (Lisa Randall，第一位在哈佛大学获得终身教职的理论物理学家) 和拉曼·桑德拉姆 (Raman Sundrum，一位印度裔美国粒子理论家) 提出，在广义相对论所描述的宇宙学尺度上，可能存在一个额外的维度。根据他们的“brane”理论——“brane”是“膜”的缩写——我们通常所指的宇宙可能嵌在一个更大的五维空间，一种超级宇宙中。在这个超级空间中，我们的宇宙可能只是众多平行宇宙中的一个，它们每一个都是一个独立的四维气泡，位于更广阔的五维空间里。

兰德尔和桑德拉姆的理论很难被证实，然而，它也被视为现代天文学的曙光。五百年前的欧洲人除了自身之外，无法想象其他物理“世界”，但现在我们知道，宇宙中有数十亿颗行星围绕着数十亿颗恒星运行。谁知道呢，也许有一天我们的后代可以找到关于其他数十亿宇宙的证据，每个宇宙都有自己独特的时空方程。

理解空间几何结构的成就是科学的里程碑之一，但物理学家可能已经走到了这条路的尽头。因为事实证明，在某种意义上，亚里士多德是对的——扩展空间的概念确实存在逻辑问题。尽管相对论取得了诸多非凡的成功，但我们知道，它对空间的描述不可能是最终级，因为它在量子水平上不能成立。在过去的半个世纪里，物理学家一直试图将他们在宇宙尺度上对空间的理解与他们在量子尺度上观察到的东西结合起来，但没有成功，似乎越来越多的人认为这样的整合需要新的物理学。

在发展出广义相对论后，爱因斯坦在里余生的大部分时间都在试图“从空间和时间的动力学中构建所有自然法则，将物理学简化为纯粹的几何”，正如普林斯顿高等研究所所长罗伯特·迪克格拉夫（Robbert Dijkgraaf ）所说：“对于他[爱因斯坦]，时空是无限科学系统中的天然基石。”和牛顿的世界图景一样，爱因斯坦的世界图景将空间作为存在的主要基础和所有事情发生的舞台。然而，在量子特性占主导地位的微小尺度上，物理定律表明我们以往所认为的空间可能并不存在。

一些理论物理学家正在形成一种观点，即空间实际上可能是由某种更基础的物质产生的，就像温度是分子运动产生的宏观属性一样。正如迪克格拉夫所说：“目前的观点认为时空不是起点，而是终点，是一个从复杂的量子信息中浮现的自然结构。”

加州理工学院的宇宙学家肖恩·卡罗尔（Sean Carroll）是新空间认知方式的主要倡导者之一，他最近提出，经典空间不是“现实结构最基本的组成部分”，并认为我们将这种特殊地位赋予它的四个或十、十一个维度是错误的。就像迪克格拉夫用温度作类比，卡罗尔提示我们湿度也很类似，它是由一种大量水分子聚集在一起而产生的现象。没有一个单独的水分子能产生湿度，只有它们聚集在一起时，湿度才会成为一个性质。因此，他说，空间是从量子水平上更基础的事物中产生的。

卡罗尔写道，从量子的角度来看，宇宙“在一个具有超过 10 (10^100)维度的数学领域中进化”——它是10的天文数字次方。很难想象这个几乎不可能的庞大数量，已知宇宙中的粒子数量总和与之相比都相形见绌。然而，这其中的每一个维度都是量子方程描述的数学空间中一个单独的维度，一个宇宙可以支配的一个新“自由度”。

即使是笛卡尔也可能会为他的愿景所指向的方向，以及简单的“维度”一词所包含的令人眼花缭乱的复杂性而震惊。

本文经授权转载自微信公众号“热知”，编辑：暮大河，原标题：《“迷人”的维度》。

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